TRABAJO – MATEMÁTICA II

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  1. TRABAJO DE MATEMATICA II
    1: Se dice que una R es de equivalencia, si es:
    Respuesta: reflexiva, transitiva y simétrica.
    2: sea: A {1,2,3,5} y la relación de A, definidas como:
    R1= {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5)} R2= {(1,1); (2,2); (3,3); (5,5)}
    R3= {(2,3); (1,2); (3,5)}
    Entonces, son reflexivas:
    RESPUESTA:
    AxA= {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5) (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5)}
    De todas las relaciones que nos dan solamente la que cumple con lo dado es R2.
    R2= {(1,1); (2,2); (3,3); (5,5)} —— reflexiva
    3: Dados los conjuntos A= {3,4,5,6} , B= {4,6,8} y la R={(x,y)E AxB/x+y es menor que 11}. Indicar los pares ordenados que satisfacen la relación. Representacion mediante el método de Venn y el plano cartesiano la relación.
    AxB= {(3,4); (3,6); (3,8); (4,4); (4,6); (4,8); (5,4); (5,6); (5,8); (6,4); (6,6); (6,8)}
    R= {(3,4); (3,6); (4,4); (4,6); (5,4); (6,4)}
    A B B
    3
    4. . 4 8
    5. .6 6
    6. .8 4

    3 4 5 6 A

    4: Sea R= {(x,y) / a2 +b2 -16 = 0}, entonces el Dom(R) y Ran(R), graficar:
    a2 +b2 -16 = 0
    a2 +b2 = 42 4
    x= 0 y= 0
    -4 4
    -4 D(R) = [-4,4]
    R(R)= [4,-4]
    5: Graficar la siguiente función f(x)=2 x2-4
    Calcular: Dom(f), Ran(f), Ran(f-1), Dom(f-1)
    f(x)=2 x2-4
    Dom(f)= [ R]
    Ran(f) = ] ∞.-4]
    Ran(f-1) =[ -4,∞[
    Dom(f-1) =[ R]

    -4 (o,4)

    6: Sean las funciones f y g. f(x)= x2+1
    g(x)= √(x-1)

    E= g[f(0)] + f(5)]
    G(1) + f(5)
    G(x)
    F(x)

    G(x)º f(x)
    F(x)º g(x)

    Solución:
    F(0)= 02 +1 g(1)= √(1-1)
    F(0)=1 g(1)= 0

    F(2)= 22+1 g(5)= √(5-1)
    F(2)= 5 g(5)= 2

    E=g(1)+f(2)
    O+5
    E=0+5
    5
    E= 1

    G(x)
    F(x) √(x-1)
    x2+1

    (f º G)= x2
    =(√(x-1)) 2 +1 (g º f)= √(x-1)

    =x = √(x2 +1-1)
    = x

    ALUMNO: CHAVESTA CORNEJO JHONATAN
    AULA: ´¨Z¨¨

  2. E APRENDIZAJE Nº14

    I. RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS
    1. Escriba explícitamente la matriz:
    A = (aij)4×5 , si aij = i + 2j, i = 1,2,3,4. j = 1,2,3,4,5.

    Solución:

    a11 = 1+2(1) = 3
    a12 = 1+2(2) = 5
    a13 = 1+2(3) = 7
    a14 = 1+2(4) = 9
    a15 = 1+2(5) = 11
    a21 = 2+2(1) = 4
    a22 = 2+2(2) = 6

    a23 = 2+2(3) = 8
    a24 = 2+2(4) = 10
    a25 = 2+2(5) = 12
    a31 = 3+2(1) = 5
    a32 = 3+2(2) = 7
    a33 = 3+2(3) = 9
    a34 = 3+2(4) = 11

    a35 = 3+2(5) = 13
    a41 = 4+2(1) = 6
    a42 = 4+2(2) = 8
    a43 = 4+2(3) = 10
    a44 = 4+2(4) = 12
    a45 = 4+2(5) = 14

    Entonces: A=[■(3&5&■(7&■(9&11))@4&6&■(8&■(10&12))@■(5@6)&■(7@8)&■(■(9@10)&■(■(11@12)&■(13@14))))]

    2. Escriba explícitamente la matriz: A = (aij)4×4 , si aij = (-1) i + j , (i , j = 1,2,3,4).
    Solución:

    a11 = (-1) 1+1 = 1
    a12 = (-1) 1+2 = -1
    a13 = (-1) 1+3 = 1
    a14 = (-1) 1+4 = -1
    a21 = (-1) 2+1 = -1
    a22 = (-1) 2+2 = 1

    a23 = (-1) 2+3 = -1
    a24 = (-1) 2+4 = 1
    a31 = (-1) 3+1 = 1
    a32 = (-1) 3+2 = -1
    a33 = (-1) 3+3 = 1
    a34 = (-1) 3+4 = -1

    a41 = (-1) 4+1 = -1
    a42 = (-1) 4+2 = 1
    a43 = (-1) 4+3 = -1
    a44 = (-1) 4+4 = 1

    Entonces: A=[■(1&-1&■(1&-1)@-1&1&■(-1&1)@■(1@-1)&■(-1@1)&■(■(1@-1)&■(-1@1)))]

    3. Si A = ( aij )33, en donde aij = (-1) i + j, entonces escribir explícitamente la matriz A.
    Solución:

    a11 = (-1) 1+1 = 1
    a12 = (-1) 1+2 = -1
    a13 = (-1) 1+3 = 1
    a21 = (-1) 2+1 = -1
    a22 = (-1) 2+2 = 1

    a23 = (-1) 2+3 = -1
    a31 = (-1) 3+1 = 1
    a32 = (-1) 3+2 = -1
    a33 = (-1) 3+3 = 1

    Entonces: A=[■(1&-1&1@-1&1&-1@1&-1&1)]

    4. Dadas las matrices A = (aij)4×4 y B = (bij)4×5 ; es decir:

    A=[■(1&2&■(3&4)@-1&-3&■(-5&1)@■(2@0)&■(3@0)&■(■(4@1)&■(1@0)))] B=[■(1&0&■(0&-1&1)@0&1&■(0&1&2)@■(0@1)&■(0@1)&■(■(1&-1&1)@■(1&1&2)))]

    Describa explícitamente a la matriz C = (ci j)4×4, si ci j = ai j bj j + 2 bi j
    Donde: i, j = 1, 2, 3,4.
    Solución:

    c11 = a 1 1 b1 1 + 2 b 1 1 = 1(1) + 2 (1) = 3
    c12 = a 1 2 b22 + 2 b 1 2 = 2(1) + 2 (0) = 2
    c13 = a 1 3 b3 3 + 2 b 1 3 = 3(1) + 2 (0) = 3
    c14 = a 1 4 b4 4 + 2 b 1 4 = 4(1) + 2 (-1) = 2
    c21 = a 2 1 b1 1 + 2 b 2 1 = -1(1) + 2 (0) = -1
    c22 = a 2 2 b2 2 + 2 b 2 2 = -3(1) + 2 (1) = -1
    c23 = a 2 3 b3 3 + 2 b 2 3 = -5(1) + 2 (0) = -5
    c24 = a 2 4 b4 4 + 2 b 2 4 = 1(1) + 2 (1) = 3
    c31 = a 3 1 b1 1 + 2 b 3 1 = 2(1) + 2 (0) = 2
    c32 = a 3 2 b2 2 + 2 b 3 2 = 3(1) + 2 (0) = 3
    c33 = a 3 3 b3 3 + 2 b 3 3 = 4(1) + 2 (1) = 6
    c34 = a 3 4 b4 4 + 2 b 3 4 = 1(1) + 2 (-1) = -1
    c41 = a 41 b11 + 2 b 41 = 0(1) + 2 (1) = 2
    c42 = a 42 b22 + 2 b 42 = 0(1) + 2 (1) = 2
    c43 = a 43 b33 + 2 b 43 = 1(1) + 2 (1) = 3
    c44 = a 44 b44 + 2 b 44 = 0(1) + 2 (1) = 2

    Entonces: C=[■(3&2&■(3&2)@-1&-1&■(-5&3)@■(2@2)&■(3@2)&■(■(6@3)&■(-1@2)))]

    5. Si A=[■(1&2&■(1&5)@1&0&■(-2&3)@3&1&■(-2&3))] entonces indicar: a22, a32, a34, a42, a44

    Solución: a22= 0 a32 =1 a34=3 a42 y a44 no existen

    6. Si las matrices son iguales determine x e y

    [■(2&x@y&5)]=[■(2&-3@-2&5)] Solución : x= -3 ; y= -2

    [■(y-1&x&5@y&-1&8)]=[■(4&2-x&5@5&-1&8)] Solución: x=2-x entonces x=1
    Y=5

    7. Halle valores de a, b y c, tales que:
    [■(1&a+2&2@-1&b&5@1&1&c^2-1)]=[■(1&-1&2@-1&1&5@1&1&0)]
    Solución: a + 2 = -1 entonces a=-3
    b= 1
    c2 -1 = 0 entonces c2 =1 entonces c= 1 ó -1

    8. Halle si es posible, todos los valores de cada incógnita para que cada una de las siguientes igualdades se cumpla:

    a) [■(2&4@5&x+2)]=[■(y&4@5&7)] Solución: y=2 ; x+2=7 entonces x=5

    b) [■(x&0@9&y)]=[■(2&0@y&x)] Solución: x=2 ; 9=y ; y=x Contradicción

    9. Calcular la transpuesta de las siguientes matrices:
    a) A=(■(1&3&■(4&3)@2&5&■(0&0)@6&9&■(8&7)))_3x4 Solución: A^t=(■(1&2&6@3&5&9@■(4@3)&■(0@0)&■(8@7)))_4x3
    b) B=(■(1@2@1))_3x1 Solución: B^t=(■(1&2&1))_1x3
    c) C=(■(1&2&■(3&2)@2&2&■(4&3)@3&4&■(1&1)))_3x4 Solución: C^t=(■(1&2&3@2&2&4@■(3@2)&■(4@3)&■(1@1)))_4x3
    d) D=(■(1&2&3@2&2&4@3&4&1))_3x3 Solución: D^t=(■(1&2&3@2&2&4@3&4&1))_3x3

    10.¿La matriz: A=[■(1&1&■(3&4)@1&2&■(0&1)@■(3@4)&■(0@1)&■(■(-1@4)&■(4@1)))] es una matriz simétrica de orden 4?
    Respuesta: Si es simétrica porque A=At

    11. Demuestre que la matriz: A = (ai j) nxn , definida por ai j = i + j , donde i , j =
    1,2,3, …,n), es una matriz simétrica.

    Solución: ai j = i + j aj i = j + I entonces ai j = aj i
    Entonces la matriz es simétrica.

    12. Verifique que si n > 1, la matriz: A = ( ai j )nxn , definida por: ai j = i + 2j ; donde i,j = 1,2,3, …,n; no es una matriz simétrica.

    Solución: a12 = 1 +2(2) = 5 y a21 = 2 + 2(1) = 4

    Luego a12 es diferente que a21 entonces la matriz no es simétrica.

    13. Dadas las matrices:
    A=(■(1&2&3@-1&3&1@1&1&1))_3x3 B=(■(1&2&3@5&-1&0@1&0&2))_3x3 C=(■(0&1&-2@-1&0&3@2&-3&0))_3x3
    Hallar la matriz traspuesta de A, B y C.
    Solución:

    A^t=(■(1&-1&1@2&3&1@3&1&1))_3x3 B^t=(■(1&5&1@2&-1&0@3&0&2))_3x3 C^t=(■(0&-1&2@1&0&-3@-2&3&0))_3x3
    ¿Tiene la matriz C un nombre especial?
    Respuesta: Se le llama matriz antisimétrica porque
    ai j = – ai j (los elementos de la diagonal principal son todos nulos).

    14. Sea: A=[■(x^2-4x+4&0&0@0&7y-49/6&0@0&0&w^2+7w-3)] la matriz nula hallar x, y, z:

    Solución: x^2-4x+4=0 entonces (x-2)^2=0 entonces x=2
    7y-49/6=0 entonces 7y=49/6 entonces y=7/6

    w^2+7w-3=0
    w^2+7w+(7/2)^2-3-(7/2)^2=0
    (w+7/2)^2-3-49/4=0
    (w+7/2)^2-61/4=0
    (w+7/2)^2=61/4
    w+7/2=±√(61/4)
    w=-7/2±√(61/4)
    w=-7/2±√61/2
    w=(-7±√61)/2

    15. Si: A=[■(3a-b+3&2&3@-2&b-c+4&4@-3&-4&a-5c-1/2)] es antisimétrica, entonces
    Calcular a, b y c

    Solución:
    Si es antisimétrica , entonces aij= – aji y los elementos de la diagonal principal son nulos.

    Entonces:
    3a-b+3=0 …………(1)
    b-c+4=0 ………….(2)
    a-5c-1/2=0 ………….(3)
    Luego:
    3a-b+3=0 …………(1)
    b-c+4=0 ………….(2)
    ———————————————————-
    3a-c+7=0 …………(4)

    Luego:
    a-5c-1/2=0 ………….(3)
    3a-c+7=0 …………(4)
    ———————————————————-
    a-5c-1/2=0
    -15a+5c-35=0
    ———————————————————-
    -14a-71/2=0
    -14a=71/2
    a=-71/28
    Reemplazando en (4) se obtiene
    3(-71/28)-c+7=0
    (-213)/28+7=c
    c=(-213+196)/28
    c=-17/28

    Reemplazando en (2) se obtiene:
    b-(-17)/28+4=0
    b+17/28+4=0
    b+(17+112)/28=0
    b+129/28=0
    b=-129/28

    Por lo tanto: a=-71/28 b=-129/28 c=-17/28

  3. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº14

    I. RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS
    1. Escriba explícitamente la matriz:
    A = (aij)4×5 , si aij = i + 2j, i = 1,2,3,4. j = 1,2,3,4,5.

    Solución:

    a11 = 1+2(1) = 3
    a12 = 1+2(2) = 5
    a13 = 1+2(3) = 7
    a14 = 1+2(4) = 9
    a15 = 1+2(5) = 11
    a21 = 2+2(1) = 4
    a22 = 2+2(2) = 6

    a23 = 2+2(3) = 8
    a24 = 2+2(4) = 10
    a25 = 2+2(5) = 12
    a31 = 3+2(1) = 5
    a32 = 3+2(2) = 7
    a33 = 3+2(3) = 9
    a34 = 3+2(4) = 11

    a35 = 3+2(5) = 13
    a41 = 4+2(1) = 6
    a42 = 4+2(2) = 8
    a43 = 4+2(3) = 10
    a44 = 4+2(4) = 12
    a45 = 4+2(5) = 14

    Entonces: A=[■(3&5&■(7&■(9&11))@4&6&■(8&■(10&12))@■(5@6)&■(7@8)&■(■(9@10)&■(■(11@12)&■(13@14))))]

    2. Escriba explícitamente la matriz: A = (aij)4×4 , si aij = (-1) i + j , (i , j = 1,2,3,4).
    Solución:

    a11 = (-1) 1+1 = 1
    a12 = (-1) 1+2 = -1
    a13 = (-1) 1+3 = 1
    a14 = (-1) 1+4 = -1
    a21 = (-1) 2+1 = -1
    a22 = (-1) 2+2 = 1

    a23 = (-1) 2+3 = -1
    a24 = (-1) 2+4 = 1
    a31 = (-1) 3+1 = 1
    a32 = (-1) 3+2 = -1
    a33 = (-1) 3+3 = 1
    a34 = (-1) 3+4 = -1

    a41 = (-1) 4+1 = -1
    a42 = (-1) 4+2 = 1
    a43 = (-1) 4+3 = -1
    a44 = (-1) 4+4 = 1

    Entonces: A=[■(1&-1&■(1&-1)@-1&1&■(-1&1)@■(1@-1)&■(-1@1)&■(■(1@-1)&■(-1@1)))]

    3. Si A = ( aij )33, en donde aij = (-1) i + j, entonces escribir explícitamente la matriz A.
    Solución:

    a11 = (-1) 1+1 = 1
    a12 = (-1) 1+2 = -1
    a13 = (-1) 1+3 = 1
    a21 = (-1) 2+1 = -1
    a22 = (-1) 2+2 = 1

    a23 = (-1) 2+3 = -1
    a31 = (-1) 3+1 = 1
    a32 = (-1) 3+2 = -1
    a33 = (-1) 3+3 = 1

    Entonces: A=[■(1&-1&1@-1&1&-1@1&-1&1)]

    4. Dadas las matrices A = (aij)4×4 y B = (bij)4×5 ; es decir:

    A=[■(1&2&■(3&4)@-1&-3&■(-5&1)@■(2@0)&■(3@0)&■(■(4@1)&■(1@0)))] B=[■(1&0&■(0&-1&1)@0&1&■(0&1&2)@■(0@1)&■(0@1)&■(■(1&-1&1)@■(1&1&2)))]

    Describa explícitamente a la matriz C = (ci j)4×4, si ci j = ai j bj j + 2 bi j
    Donde: i, j = 1, 2, 3,4.
    Solución:

    c11 = a 1 1 b1 1 + 2 b 1 1 = 1(1) + 2 (1) = 3
    c12 = a 1 2 b22 + 2 b 1 2 = 2(1) + 2 (0) = 2
    c13 = a 1 3 b3 3 + 2 b 1 3 = 3(1) + 2 (0) = 3
    c14 = a 1 4 b4 4 + 2 b 1 4 = 4(1) + 2 (-1) = 2
    c21 = a 2 1 b1 1 + 2 b 2 1 = -1(1) + 2 (0) = -1
    c22 = a 2 2 b2 2 + 2 b 2 2 = -3(1) + 2 (1) = -1
    c23 = a 2 3 b3 3 + 2 b 2 3 = -5(1) + 2 (0) = -5
    c24 = a 2 4 b4 4 + 2 b 2 4 = 1(1) + 2 (1) = 3
    c31 = a 3 1 b1 1 + 2 b 3 1 = 2(1) + 2 (0) = 2
    c32 = a 3 2 b2 2 + 2 b 3 2 = 3(1) + 2 (0) = 3
    c33 = a 3 3 b3 3 + 2 b 3 3 = 4(1) + 2 (1) = 6
    c34 = a 3 4 b4 4 + 2 b 3 4 = 1(1) + 2 (-1) = -1
    c41 = a 41 b11 + 2 b 41 = 0(1) + 2 (1) = 2
    c42 = a 42 b22 + 2 b 42 = 0(1) + 2 (1) = 2
    c43 = a 43 b33 + 2 b 43 = 1(1) + 2 (1) = 3
    c44 = a 44 b44 + 2 b 44 = 0(1) + 2 (1) = 2

    Entonces: C=[■(3&2&■(3&2)@-1&-1&■(-5&3)@■(2@2)&■(3@2)&■(■(6@3)&■(-1@2)))]

    5. Si A=[■(1&2&■(1&5)@1&0&■(-2&3)@3&1&■(-2&3))] entonces indicar: a22, a32, a34, a42, a44

    Solución: a22= 0 a32 =1 a34=3 a42 y a44 no existen

    6. Si las matrices son iguales determine x e y

    [■(2&x@y&5)]=[■(2&-3@-2&5)] Solución : x= -3 ; y= -2

    [■(y-1&x&5@y&-1&8)]=[■(4&2-x&5@5&-1&8)] Solución: x=2-x entonces x=1
    Y=5

    7. Halle valores de a, b y c, tales que:
    [■(1&a+2&2@-1&b&5@1&1&c^2-1)]=[■(1&-1&2@-1&1&5@1&1&0)]
    Solución: a + 2 = -1 entonces a=-3
    b= 1
    c2 -1 = 0 entonces c2 =1 entonces c= 1 ó -1

    8. Halle si es posible, todos los valores de cada incógnita para que cada una de las siguientes igualdades se cumpla:

    a) [■(2&4@5&x+2)]=[■(y&4@5&7)] Solución: y=2 ; x+2=7 entonces x=5

    b) [■(x&0@9&y)]=[■(2&0@y&x)] Solución: x=2 ; 9=y ; y=x Contradicción

    9. Calcular la transpuesta de las siguientes matrices:
    a) A=(■(1&3&■(4&3)@2&5&■(0&0)@6&9&■(8&7)))_3x4 Solución: A^t=(■(1&2&6@3&5&9@■(4@3)&■(0@0)&■(8@7)))_4x3
    b) B=(■(1@2@1))_3x1 Solución: B^t=(■(1&2&1))_1x3
    c) C=(■(1&2&■(3&2)@2&2&■(4&3)@3&4&■(1&1)))_3x4 Solución: C^t=(■(1&2&3@2&2&4@■(3@2)&■(4@3)&■(1@1)))_4x3
    d) D=(■(1&2&3@2&2&4@3&4&1))_3x3 Solución: D^t=(■(1&2&3@2&2&4@3&4&1))_3x3

    10.¿La matriz: A=[■(1&1&■(3&4)@1&2&■(0&1)@■(3@4)&■(0@1)&■(■(-1@4)&■(4@1)))] es una matriz simétrica de orden 4?
    Respuesta: Si es simétrica porque A=At

    11. Demuestre que la matriz: A = (ai j) nxn , definida por ai j = i + j , donde i , j =
    1,2,3, …,n), es una matriz simétrica.

    Solución: ai j = i + j aj i = j + I entonces ai j = aj i
    Entonces la matriz es simétrica.

    12. Verifique que si n > 1, la matriz: A = ( ai j )nxn , definida por: ai j = i + 2j ; donde i,j = 1,2,3, …,n; no es una matriz simétrica.

    Solución: a12 = 1 +2(2) = 5 y a21 = 2 + 2(1) = 4

    Luego a12 es diferente que a21 entonces la matriz no es simétrica.

    13. Dadas las matrices:
    A=(■(1&2&3@-1&3&1@1&1&1))_3x3 B=(■(1&2&3@5&-1&0@1&0&2))_3x3 C=(■(0&1&-2@-1&0&3@2&-3&0))_3x3
    Hallar la matriz traspuesta de A, B y C.
    Solución:

    A^t=(■(1&-1&1@2&3&1@3&1&1))_3x3 B^t=(■(1&5&1@2&-1&0@3&0&2))_3x3 C^t=(■(0&-1&2@1&0&-3@-2&3&0))_3x3
    ¿Tiene la matriz C un nombre especial?
    Respuesta: Se le llama matriz antisimétrica porque
    ai j = – ai j (los elementos de la diagonal principal son todos nulos).

    14. Sea: A=[■(x^2-4x+4&0&0@0&7y-49/6&0@0&0&w^2+7w-3)] la matriz nula hallar x, y, z:

    Solución: x^2-4x+4=0 entonces (x-2)^2=0 entonces x=2
    7y-49/6=0 entonces 7y=49/6 entonces y=7/6

    w^2+7w-3=0
    w^2+7w+(7/2)^2-3-(7/2)^2=0
    (w+7/2)^2-3-49/4=0
    (w+7/2)^2-61/4=0
    (w+7/2)^2=61/4
    w+7/2=±√(61/4)
    w=-7/2±√(61/4)
    w=-7/2±√61/2
    w=(-7±√61)/2

    15. Si: A=[■(3a-b+3&2&3@-2&b-c+4&4@-3&-4&a-5c-1/2)] es antisimétrica, entonces
    Calcular a, b y c

    Solución:
    Si es antisimétrica , entonces aij= – aji y los elementos de la diagonal principal son nulos.

    Entonces:
    3a-b+3=0 …………(1)
    b-c+4=0 ………….(2)
    a-5c-1/2=0 ………….(3)
    Luego:
    3a-b+3=0 …………(1)
    b-c+4=0 ………….(2)
    ———————————————————-
    3a-c+7=0 …………(4)

    Luego:
    a-5c-1/2=0 ………….(3)
    3a-c+7=0 …………(4)
    ———————————————————-
    a-5c-1/2=0
    -15a+5c-35=0
    ———————————————————-
    -14a-71/2=0
    -14a=71/2
    a=-71/28
    Reemplazando en (4) se obtiene
    3(-71/28)-c+7=0
    (-213)/28+7=c
    c=(-213+196)/28
    c=-17/28

    Reemplazando en (2) se obtiene:
    b-(-17)/28+4=0
    b+17/28+4=0
    b+(17+112)/28=0
    b+129/28=0
    b=-129/28

    Por lo tanto: a=-71/28 b=-129/28 c=-17/28

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